Y: Mr. Jones! I’m going to go to New York!

　ジョーンズ先生！ニューヨークに行くことになりました。

J: Great! How did you decide it?

　素晴らしい！どうやってそれ（=ニューヨークにいくこと）を決心したんだい？

Y: Yesterday I wrote out my summer vacation plans and showed them to my parents.

　昨日、私は夏休みの計画を書き出して、親に見せたんです。

I didn’t think my father would agree with my plans, but he did! (= agreed)

　【訳に注意！】私は父が同意してくれないと思っていたのですが、同意してくれたのです。

He said he would call Karen’s aunt and say thank you.

　 【訳に注意！】 彼はカレンのおばさんに連絡して感謝を伝えるつもりだと言っていました。

J: Good job, Yumi! I think that it will be a great experience for you.

　いいですね、ユミ。それはあなたにとって素晴らしい経験になるだろうと思いますよ。

Maybe you can send an e-mail to Karen’s aunt and say hello.

　たぶん、あなたはカレンのおばさんにメールを送って、挨拶をした方がよいでしょう。(←ここのcanはこんな感じでいいんじゃないかな。「できる」だと変だし、「可能性がある」も変。そして最後のユミの答えから推測すると、この訳がよさそう。)

Y: Yes, I will.

　はい、そうします。（メールであいさつします）